con 'arriva corrente al motorino' intendo proprio quello

che il circuito che alimenta il motorino ( che viene interrotto dalla chiave quando la metti in posizione OFF ) abbia la corrente.
In quel circuito la corrente dovrebbe passare solo in fase di accensione del motore.
Per questo mi sembra strano che il surriscaldamento influisca.
O si è bruciato qualcosa la prima volta che hai acceso ( ed ora il circuito è interrotto ).
Oppure il problema non sta li

, l'unico modo per verificarlo è prendere un tester, e, girando la chiave toccare le giunzioni dei fili ( in presenza di fusibili ecc) per vedere fino a dove arriva la corrente nel circuito ( partendo dal motorino d'avviamento a ritroso , potenzialmente fino ad arrivare alla batteria ) , so che è un po un casino descritto, ma poi a farlo ci vogliono 10 minuti.
O se hai un amico elettricista, o appassionato di radiomodellismo sicuramente di può aiutare almeno ad individuare il problema. Ti aiuterei anche io, ma da Milano a Napoli mi sembra un po lunga